Definição e propriedades básicas

  • Uma matriz é um conjunto de números ou variáveis dispostos em linhas e colunas.
  • Uma matriz \(\mathbf{A}\) de \(n\) linhas e \(p\) colunas (dimensão \(n \times p\)) pode ser representada, genericamente, por:

\[{\mathbf A} = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{np} \end{array} \right]\]

  • A matriz \(\mathbf{A}\) pode ser denotada ainda por \(\mathbf{A} = \{a_{ij}\}\), onde o primeiro índice indica linha, o segundo coluna e \(a_{ij}\) é o termo geral da matriz.

Definição e propriedades básicas

  • Um vetor \(\mathbf{x}\), de dimensão \(n\), é representado, genericamente, por:

\[\mathbf{x} = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] \]

  • Numa análise multivariada com \(n\) indivíduos e \(p\) variáveis, as linhas da matriz de dados (observações dos indivíduos) podem ser consideradas \(n\) vetores de dimensão \(p\): \(\mathbf{x}_i^t = (x_{i1}, x_{i2}, \cdots, x_{ip}), \,\,\,\,\, i = 1, 2, \cdots, n\);

Definição e propriedades básicas

  • As colunas da matriz de dados (observações referentes à variáveis) podem ser consideradas \(p\) vetores de dimensão \(n\):

\[\mathbf{x}_j^t = (x_{1j}, x_{2j}, \cdots, x_{nj}), \,\,\,\,\, j = 1, 2, \cdots, p\]

  • A multiplicação de um vetor \(\mathbf{x} = (x_1, x_2 , \cdots, x_p)^t\) por um escalar real \(c\) resulta em um vetor \(\mathbf{y} = c \mathbf{x} = (cx_1 , cx_2 , \cdots, cx_p)^t\), de igual dimensão em relação ao vetor original;
  • Geometricamente, a multiplicação de um vetor por um escalar pode mudar seu tamanho e sentido, mas não sua direção.

Definição e propriedades básicas

  • A soma de dois vetores \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\), de iguais dimensões, resulta em um terceiro vetor dado por:

\[\mathbf{z} = \mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \cdots, x_p + y_p)^t\]

  • A diferença de dois vetores \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\), de iguais dimensões, resulta em um terceiro vetor dado por:

\[\mathbf{w} = \mathbf{x} - \mathbf{y} = (x_1 - y_1, x_2 - y_2, \cdots, x_p - y_p)^t\]

Definição e propriedades básicas

  • O produto interno de dois vetores \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\) é definido por:

\[\mathbf{v} = \mathbf{x}^t\mathbf{y} = \displaystyle{\sum_{i=1}^{p}} x_iy_i = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_p y_p\]

  • O tamanho do vetor \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_p)^t\) é definido pela distância do ponto \(p\)-dimensional, determinado por suas coordenadas, à origem:

\[L_x = \sqrt{\mathbf{x}^t\mathbf{x}} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_p^2}\]

Definição e propriedades básicas

  • O cosseno do ângulo \(\theta\) entre os vetores \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\) definidos em \(\mathbb{R}^p\) é dado por:

\[\cos({\theta}) = \dfrac{\mathbf{x}^t\mathbf{y}}{\sqrt{\mathbf{x}^t\mathbf{x}} \sqrt{\mathbf{y}^t\mathbf{y}}}\]

  • Dois vetores \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\) são entre si se o ângulo \(\theta\) entre eles é \(90^o\), de tal forma que \(\cos(\theta) = 0\), ou, de forma equivalente, \(\mathbf{x}^t\mathbf{y} = 0\).
  • A normalização de um vetor \(\mathbf{x}\) corresponde à divisão de \(\mathbf{x}\) por \(L_x\), de tal forma que o vetor resultante tenha comprimento unitário:

\[\mathbf{x}^* = \dfrac{\mathbf{x}}{L_x}\]

Definição e propriedades básicas

  • A projeção de um vetor \(\mathbf{x}\) em um vetor \(\mathbf{y}\) é um novo vetor, com coordenadas:

\[\text{Projeção de } \mathbf{x} \text{ em } \mathbf{y} = \dfrac{\mathbf{x}^t\mathbf{y}}{\mathbf{y}^t\mathbf{y}} \mathbf{y}\]

  • O comprimento da projeção de \(\mathbf{x}\) em \(\mathbf{y}\) é dado por:

\[\text{Tamanho da projeção de } \mathbf{x} \text{ em } \mathbf{y} = \dfrac{|\mathbf{x}^t\mathbf{y}|}{L_y} = L_x \cos(\theta)\]

Definição e propriedades básicas

  • Igualdade de matrizes: Dizemos que duas matrizes \(\mathbf{A}\) e \(\mathbf{B}\) são iguais se elas tem iguais dimensões e \(\{a_{ij}\} = \{b_{ij}\}\) para todo \(i\) e para todo \(j\).
  • Matriz transposta: A transposta de uma matriz \(\mathbf{A}_{n \times p}\) é a matriz \(\mathbf{A}^t_{p \times n}\) tal que \(\{a_{ij}\} = \{a_{ji}\}\) para todo \(i\) e para todo \(j\):

\[\mathbf{A}^t = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1p} & a_{2p} & \cdots & a_{np} \end{array} \right]\]

Definição e propriedades básicas

  • Matriz simétrica: Dizemos que uma matriz \(\mathbf{A}_{p \times p}\) é simétrica se \(\{a_{ij}\} = \{a_{ji}\}\) para todo \(i\) e para todo \(j\), ou seja, \(\mathbf{A}^t = \mathbf{A}\).
  • Diagonal de uma matriz: A diagonal de uma matriz quadrada \(\mathbf{A}_{p \times p}\) corresponde ao conjunto de elementos \(a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{pp}\).
  • Matriz diagonal: Dizemos que a matriz quadrada \(\mathbf{A}_{p \times p}\) é diagonal se todos os elementos fora da diagonal são iguais a zero:

\[\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{pp} \end{array} \right]\]

Definição e propriedades básicas

  • Matriz identidade: Dizemos que a matriz quadrada \(\mathbf{I}_{p\times p}\) é uma matriz identidade se ela é uma matriz diagonal com todos os elementos da diagonal iguais a 1:

\[\mathbf{I} = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array} \right]\]

Definição e propriedades básicas

  • Matriz triangular superior: Dizemos que a matriz quadrada \(\mathbf{A}_{p \times p}\) é uma matriz triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal são iguais a zero:

\[\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{pp} \end{array} \right]\]

  • Uma matriz triangular inferior é definida de forma semelhante.

Operações envolvendo matrizes

  • A soma de duas matrizes \(\mathbf{A}_{n \times p}\) e \(\mathbf{B}_{n \times p}\) de iguais dimensões é a matriz resultante das somas dos elementos nas posições correspondentes:

\[\mathbf{A} + \mathbf{B} = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1p} + b_{1p}\\ a_{21} + b_{21}& a_{22} + b_{22}& \cdots & a_{2p} + b_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} + b_{n1} & a_{n2} + b_{n2} & \cdots & a_{np} + b_{np} \end{array} \right]\]

Operações envolvendo matrizes

  • A diferença de duas matrizes \(\mathbf{A}_{n \times p}\) e \(\mathbf{B}_{n \times p}\) de iguais dimensões é a matriz resultante das diferenças dos elementos nas posições correspondentes:

\[\mathbf{A} - \mathbf{B} = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & \cdots & a_{1p} - b_{1p}\\ a_{21} - b_{21}& a_{22} - b_{22}& \cdots & a_{2p} - b_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} - b_{n1} & a_{n2} - b_{n2} & \cdots & a_{np} - b_{np} \end{array} \right]\]

Operações envolvendo matrizes

  • Sejam \(\mathbf{A}_{n \times k}\) e \(\mathbf{B}_{k \times p}\) duas matrizes, tais que o número de linhas da segunda é igual ao número de colunas da primeira. O produto \(\mathbf{AB}\) é definido por:

\[\mathbf{A} \mathbf{B} = \left[ \begin{array}{cccc} \sum_{r = 1}^k a_{1r}. b_{r1} & \sum_{r = 1}^k a_{1r}. b_{r2} & \cdots & \sum_{r = 1}^k a_{1r}. b_{rp}\\ \sum_{r = 1}^k a_{2r}. b_{r1} & \sum_{r = 1}^k a_{2r}. b_{r2} & \cdots & \sum_{r = 1}^k a_{2r}. b_{rp} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{r = 1}^k a_{nr}. b_{r1} & \sum_{r = 1}^k a_{nr}. b_{r2} & \cdots & \sum_{r = 1}^k a_{nr}. b_{rp} \end{array} \right]\]

  • Dizemos que uma matriz quadrada \(\mathbf{Q}\) é ortogonal se \(\mathbf{QQ}^t = \mathbf{Q}^t \mathbf{Q} = \mathbf{I}\).

Operações envolvendo matrizes

  • Sejam \(\mathbf{A}_{n \times p}\) e \(c\) uma constante. O produto \(c \mathbf{A}\) resulta no produto de cada elemento de \(\mathbf{A}\) por \(c\):

\[c\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{cccc} ca_{11} & ca_{12} & \cdots & ca_{1p} \\ ca_{21} & ca_{22} & \cdots & ca_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ca_{n1} & ca_{n2} & \cdots & ca_{np} \end{array} \right]\]

Operações envolvendo matrizes

  • Sejam \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\) e \(\mathbf{C}\) matrizes com dimensões compatíveis para as operações consideradas. Então:

    • \((\mathbf{A}^t)^t = \mathbf{A}\);
    • \(\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A}\);
    • \((\mathbf{A} + \mathbf{B})^t = \mathbf{A}^t + \mathbf{B}^t\);
    • \((\mathbf{A} - \mathbf{B})^t = \mathbf{A}^t - \mathbf{B}^t\);
    • \((\mathbf{AB})^t = \mathbf{B}^t \mathbf{A}^t\);
    • \(\mathbf{AB} \neq \mathbf{BA}\), a menos de situações bem específicas;

Operações envolvendo matrizes

  • Sejam \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\) e \(\mathbf{C}\) matrizes com dimensões compatíveis para as operações consideradas. Então:

    • \(\mathbf{A}(\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{AB} + \mathbf{AC}\), valendo o mesmo ao substituir a soma pela diferença;
    • \((\mathbf{A} + \mathbf{B}) \mathbf{C} = \mathbf{AC} + \mathbf{BC}\), valendo o mesmo ao substituir a soma pela diferença;
    • \((\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{C} \neq \mathbf{CA} + \mathbf{CB}\), a menos de situações bem específicas;
    • \(\mathbf{IA} = \mathbf{AI} = \mathbf{A}\), para qualquer \(\mathbf{A}\).

Operações envolvendo matrizes

  • O traço de uma matriz de uma matriz \(\mathbf{A}_{p \times p}\), denotado por \(\text{tr}(\mathbf{A})\), corresponde à soma dos elementos da diagonal de \(\mathbf{A}\):

\[\text{tr}(\mathbf{A}) = \displaystyle{\sum_{i=1}^{p}a_{ii}}\]

  • Sejam \(\mathbf{A}\) e \(\mathbf{B}\) matrizes quadradas. Então:

    • \(\text{tr}(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \text{tr}(\mathbf{A}) + \text{tr}(\mathbf{B})\)
    • \(\text{tr}(\mathbf{A} \mathbf{B}) = \text{tr}(\mathbf{B} \mathbf{A})\)

Combinações lineares e formas quadráticas

  • Para um conjunto de constantes \(a_1, a_2, \cdots, a_p\), o vetor \(\mathbf{y} = a_1 \mathbf{x}_1 + a_2 \mathbf{x}_ 2 + \cdots + a_p \mathbf{x}_p\) é uma combinação linear dos vetores \(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_p\) .
  • O conjunto de vetores \(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_p\) é dito linearmente dependente se há um conjunto de constantes \(a_1, a_2, \cdots, a_p\), nem todas nulas, tal que:

\[a_1 \mathbf{x}_1 + a_2 \mathbf{x}_ 2 + \cdots + a_p \mathbf{x}_p = 0\]

  • Caso contrário os vetores são linearmente independentes.

Combinações lineares e formas quadráticas

  • Formas quadráticas surgem de forma recorrente na estatística multivariada, por exemplo, na definição de distâncias.
  • Uma forma quadrática, definida a partir de uma matriz simétrica \(\mathbf{A}_{p \times p}\), é definida como:

\[Q(\mathbf{x}) = {\mathbf{x}^t} \mathbf{A} \mathbf{x} =\displaystyle{\sum_{i=1}^p a_{ii} x_{i}^2} + 2 \displaystyle{\sum_{i = 1}^{p-1}} \displaystyle{\sum_{k = i+1}^{p}} a_{ik} x_i x_k = \displaystyle{\sum_{i=1}^p} \displaystyle{\sum_{k=1}^p} a_{ik} x_i x_k\]

para \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\) definido em \(\mathbb{R}^p\).

Combinações lineares e formas quadráticas

  • Classificamos a matriz \(\mathbf{A}\), e a consequente forma quadrática \(\mathbf{x}^t \mathbf{A}\mathbf{x}\), como positiva definida se \(Q(\mathbf{x}) > 0\) para qualquer \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\).

  • Outras classificações:

    • Positiva semidefinida: \(Q(\mathbf{x}) \geqslant 0\)
    • Negativa definida: \(Q(\mathbf{x}) < 0\)
    • Negativa semidefinida: \(Q(\mathbf{x}) \leqslant 0\)
    • Indefinida: \(Q(\mathbf{x}) > 0\) para alguns \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^p\) e \(Q(\mathbf{x}) < 0\) para outros \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^p\)

Matriz inversa

  • Matriz inversa: Considere uma matriz \(\mathbf{A}_{p \times p}\). Caso exista uma matriz \(\mathbf{B}_{p \times p}\) tal que

\[\mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}\]

dizemos que \(\mathbf{B}\) é a matriz inversa de \(\mathbf{A}\), sendo usualmente denotada por \(\mathbf{A}^{-1}\).

  • Quando uma matriz possui uma matriz inversa, dizemos que ela é não-singular. Caso contrário, ela é classificada como singular.

Matriz inversa

  • A condição fundamental para que uma matriz tenha inversa é que suas colunas sejam linearmente independentes (matriz de \(rank\) completo).
  • O \(rank\) de uma matriz \(\mathbf{A}_{n \times p}\) , denotado por \(rank(\mathbf{A})\), é definido como o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes de \(\mathbf{A}\).
  • Dizemos que a matriz quadrada \(\mathbf{A}_{p \times p}\) tem \(rank\) completo se \(rank(\mathbf{A}) = p\), configurando uma matriz não singular.
  • Para matrizes de \(rank\) incompleto ou não-quadradas, define-se a inversa generalizada de \(\mathbf{A}\) como a matriz \(\mathbf{A}^-\) que satisfaz \(\mathbf{A} \mathbf{A}^- \mathbf{A} = \mathbf{A}\).

Matriz inversa

  • A inversa de uma matriz diagonal é dada pela matriz diagonal composta pelos inversos dos elementos da matriz original:

\[\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{pp} \end{array} \right]; \,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathbf{A}^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} \frac{1}{a_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{1}{a_{22}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{a_{pp}} \end{array} \right]\]

Matriz inversa

  • \(\mathbf{A}\) e \(\mathbf{B}\) não singulares \((p \times p)\), \((\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1}\);
  • Para \(c\) uma constante real diferente de zero, \((c \mathbf{B})^{-1} = c^{-1}(\mathbf{A})^{-1}\);
  • \((\mathbf{A}^t)^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^t\);
  • Se \(rank(\mathbf{A}) = p\) então \(\mathbf{A}^{-1}\) existe;
  • Se \(\mathbf{A}\) é ortogonal, então \(\mathbf{A}^{-1}\) existe, além do que \(\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^t\);
  • Se \(\mathbf{B}\) é não singular, \(\mathbf{AB} = \mathbf{CB}\) implica \(\mathbf{A} = \mathbf{C}\).

Determinante

  • O determinante de uma matriz \(\mathbf{A}_{p \times p}\) , denotado por \(\det(\mathbf{A})\) ou \(|\mathbf{A}|\), é definido como:

    \[\det(\mathbf{A}) = \begin{cases} a_{11} & \text{ se } p = 1 \\ \sum \limits_{j=1}^p a_{ij} |\mathbf{A}_{ij}| (-1)^{i+j} & \text{ se } p > 1\end{cases}\]

sendo \(\mathbf{A}_{ij}\) a matriz \((p - 1) \times (p - 1)\) resultante da exclusão da \(i\)-ésima linha e \(j\)-ésima coluna de \(\mathbf{A}\).

Determinante

Determinante

  • Sejam as matrizes \(\mathbf{A}\) e \(\mathbf{B}\) quadradas de ordem \(p\) e seja \(c\) um escalar. Então,

    • \(\left|c \mathbf{A}\right| = c^p \left| \mathbf{A} \right|\);
    • \(\left|\mathbf{A}^t \right| = \left|\mathbf{A}\right|\);
    • \(\left|\mathbf{A}^{-1} \right| = \displaystyle{\dfrac {1}{\left|\mathbf{A}\right|}} = \left|\mathbf{A}\right|^{-1}\);
    • Se \(rank(\mathbf{A}) < p\) então \(|\mathbf{A}| = 0\);
    • Se \(rank(\mathbf{A}) = p\) então \(|\mathbf{A}| \neq 0\);

Determinante

  • Sejam as matrizes \(\mathbf{A}\) e \(\mathbf{B}\) quadradas de ordem \(p\) e seja \(c\) um escalar. Então,

    • \(\left| \mathbf{AB} \right| = \left|\mathbf{A}\right| \left|\mathbf{B}\right|\);
    • \(\left| \mathbf{ABA}^{-1} \right| = \left|\mathbf{A}\right| \left|\mathbf{B}\right| \left|\mathbf{A}^{-1}\right|\);
    • Se \(\mathbf{A}\) é uma matriz diagonal, então \(|\mathbf{A}| = \displaystyle{\prod_{i=1}^p a_{ii}}\);
    • Se uma matriz \(\mathbf{A}\) é singular, então \(\left| \mathbf{A} \right| = 0\);
    • Se uma matriz \(\mathbf{A}\) é não-singular, então \(\left| \mathbf{A} \right| \neq 0\);
    • Se uma matriz \(\mathbf{A}\) é positiva definida, então \(\left| \mathbf{A} \right| > 0\).

Autovalores e autovetores

  • Seja \(\mathbf{A}\) uma matriz quadrada e \(\mathbf{I}\) a matriz identidade, ambas \(p \times p\). Os escalares \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_p\) que são a solução da equação polinomial \(|\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}| = 0\) são chamados autovalores (ou valores característicos) de \(\mathbf{A}\).
  • A equação \(|\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}| = 0\) (como função de \(\lambda\)) é chamada equação característica.
  • Seja \(\mathbf{A}\) uma matriz quadrada \(p \times p\) e \(\lambda\) um autovalor de \(\mathbf{A}\). Então, o vetor \(\mathbf{x}\) \((p \times 1)\), não nulo, que satisfaz:

\[\mathbf{Ax} = \lambda \mathbf{x}\]

é chamado autovetor (ou vetor característico) de \(\mathbf{A}\) associado ao autovalor \(\lambda\).

Autovalores e autovetores

  • Para qualquer matriz simétrica \(\mathbf{A}\) com autovalores \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_p\), valem:

\[\text{tr}(\mathbf{A}) = \displaystyle{\sum_{i=1}^{p}\lambda_{i}} \hspace{1cm} \text{e} \hspace{1cm} \left|\mathbf{A} \right| = \displaystyle{\prod_{i=1}^{p}\lambda_{i}}\]

  • Se todos os autovalores da matriz \(\mathbf{A}\) são positivos maiores que zero, então a matriz \(\mathbf{A}\) é positiva definida;
  • Se os autovalores da matriz \(\mathbf{A}\) são positivos ou iguais a zero, então a matriz \(\mathbf{A}\) é positiva semidefinida. Neste caso, o número de autovalores positivos será igual ao posto da matriz \(\mathbf{A}\)
  • Os autovetores de uma matriz \(\mathbf{A}\) simétrica de dimensão \(p \times p\) são ortogonais.

Teorema da decomposição espectral

  • Como resultado da ortogonalidade dos autovetores de \(\mathbf{A}\) tem-se o Teorema da Decomposição Espectral.
  • Toda matriz simétrica \(\mathbf{A}\) de ordem \(p \times p\) pode ser decomposta em:

\[\mathbf{A} = \mathbf{C} \mathbf{\Lambda} \mathbf{C}^t = \displaystyle{\sum_{i = 1}^p \lambda_i {\mathbf{e}_i \mathbf{e}_i^t}}\]

Teorema da decomposição espectral

em que \(\mathbf{\Lambda}\) é a matriz diagonal dos autovalores:

\[\mathbf{\Lambda} = \left[ \begin{array}{cccc} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_p \end{array} \right]\]

e \(\mathbf{C}\) é a matriz ortogonal com os autovetores normalizados de \(\mathbf{A}\) nas colunas:

\[\mathbf{C} = \left[\begin{array}{rrrr} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \cdots & \mathbf{e}_p \end{array} \right]\]